Zadanie.

 Rozwiązanie:
 Intuicja podpowiada, że nie może to być połączenie proste, trzeba kombinować i zastosować na przykład układ szeregowo-równoległy. Wprowadźmy oznaczenia:

Pomiędzy powyższymi zmiennymi istnieje oczywiście następująca zależność:

Jeżeli 12 ogniw połączymy w szereg, a każde ogniwo ma oporność wewnętrzną równą 1 ohm to oporność wewnętrzna całego połączenia zgodnie z równaniem wyniesie 12 ohm.,

Jeżeli 5 baterii pokazanych jak wyżej na rysunku połączymy teraz równolegle to całkowity opór wewnętrzny takiego układu połączeń łatwo jest policzyć ze wzoru:

Całkowity opór wewnętrzny tego układu połączeń wynosi:

W tym momencie należy przypomnieć i zastosować  prawo Ohma dla obwodu zamkniętego. Oto one:

Literka I oznacza natężenie płynącego w tym obwodzie prądu. Dalszy ciąg matematycznych przekształceń służy wyznaczeniu natężenia prądu I. Jest ono funkcją ilości ogniw połączonych szeregowo.

I jako wspólny czynnik pojawia się teraz przed nawiasem:

Wspólny mianownik widnieje w nawiasie. Trwa pisanie ciągu równań równoważnych.

W tym miejscu zaczyna się dopiero matematyka! Każda funkcja np:. f od (n jeden) ma swoje "obszary" kiedy to występuje jako rosnąca ale ma też takie kiedy występuje jako malejąca. W matematyce mówimy wtedy o ekstremach (maksimum lub minimum). W treści zadania pytają nas kiedy wartość prądu I (wyrażona w amperach) osiągnie wartość maksymalną. Zależy to oczywiście od sposobu połączenia ogniw.
Zbadajmy to zagadnienie! W tym celu należy policzyć pierwszą pochodną natężnia prądu I względem zmiennej n jeden. Oto te rachunki:

Pierwszą pochodną natężenia prądu I względem zmiennej n jeden należy zgodnie z tym co podaje matematyka przyrównać do zera.

Po niewielkich przekształceniach otrzymujemy wyrażenie:

Szukana jest wartość zmiennej n jeden. Rozwiązanie tego prostego równania nie sprawia już kłopotu.

c.b.d.o

Pomijając pewne matematyczne wywody (dowód że dla znalezionego n jeden prąd I jest maksymalny) możemy formułować odpowiedz na zadane zapytanie.  Maksymalny prąd I będzie przepływał przez opór zewnętrzny R zet  jeżeli połączymy szeregowo n jeden równe 12 ogniw w baterię i tak otrzymanych n dwa  równe 5 baterii połączymy równolegle.

MATEMATYKA
Zadanie

Zawodników turnieju szachowego podzielono na dwie grupy A i B. Ilość zawodników grupy A to 75% ilości zawodników grupy B. W grupie A rozegrano mecze w systemie każdy z każdym a w grupie B 3 razy każdy z każdym. Wszystkich meczy rozegrano 21 . Ilu zawodników brało udział w turnieju ?

Rozwiązanie:

Oznaczmy przez a liczność grupy A oraz przez b liczność grupy B. W turnieju brało udział x zawodników , gdzie:

x  =  a  +  b

Rozegranie spotkań w systemie każdy z każdym oznacza, że ilość partii szachowych w grupie A będzie równa ilości kombinacji dwuelementowych bez powtórzeń ze zbioru a elementów, a w grupie B ilości kombinacji dwuelementowych bez powtórzeń ze zbioru b elementów. Można napisać równanie pokazujące sumę wszystkich 21 rozegranych partii szachowych:

 

Powyższe równanie uwzględniając symbole Newtona można zapisać w następującej postaci :

Dalsze przekształcenia tego równania prowadzą do wzoru:

Wiedząc, że liczność grupy  A to 75% liczności grupy B , czyli

po prostych przekształceniach otrzymujemy równanie kwadratowe zmiennej a.

Jedynym rozwiązaniem tego równania jest wartość  a = 3 . Proste rachunki pokazują, żę liczność grupy B wynosi b = 4.
Odpowiedzią na pytanie postawione w treści zadania jest liczba x uczestników turnieju.

c.b.d.o.

MATEMATYKA 
Zadanie

Rzucamy trzema kostkami do gry. Jaka jest najbardziej prawdopodobna suma wyrzuconych oczek ? Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia najbardziej prawdopodobnej sumy oczek ?

Rozwiązanie:

Ilość wszystkich różnych k = 3 elementowych wariacji z powtórzeniami ze zbioru złożonego z n = 6 elementów jest równa:

gdzie n oraz k są liczbami naturalnymi.

Podejmijmy teraz działanie polegające na pokazaniu wszystkich możliwych i różnych 216 wariacji 3 elementowych ze zbioru 6 elementów. Pomocny tu będzie schemat według, którego dokonamy zliczenia tych wariacji. Oto on:

 

1 1 1 1 1 1    2 2 2 2 2 2    3 3 3 3 3 3   4 4 4 4 4 4    5 5 5 5 5 5    6 6 6 6 6 6

1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1   1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1    1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6   1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6

1 1 1 1 1 1    2 2 2 2 2 2    3 3 3 3 3 3   4 4 4 4 4 4    5 5 5 5 5 5    6 6 6 6 6 6
2 2 2 2 2 2    2 2 2 2 2 2    2 2 2 2 2 2   2 2 2 2 2 2    2 2 2 2 2 2    2 2 2 2 2 2        
1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6   1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6 

- - - - - - -      - - - - - - -     - - - - - - -      - - - - - - -      - - - - - - -      - - - - - - -

- - - - - - -      - - - - - - -     - - - - - - -      - - - - - - -      - - - - - - -      - - - - - - - 

1 1 1 1 1 1    2 2 2 2 2 2    3 3 3 3 3 3   4 4 4 4 4 4    5 5 5 5 5 5    6 6 6 6 6 6

6 6 6 6 6 6    6 6 6 6 6 6    6 6 6 6 6 6   6 6 6 6 6 6    6 6 6 6 6 6    6 6 6 6 6 6

1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6   1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6    1 2 3 4 5 6 


Najmniejsza i największa możliwa suma oczek jaka może się zdarzyć przy jednym rzucie trzema kostkami wynosi odpowiednio 3 i 18.

Suma wylosowanych oczek		3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Częstość jej występowania		1	3	6	10	16	21	25	27	27	25	21	16	10	6	3	1

Z powyższego zestawienia wynika, że najbardziej prawdopodobna suma oczek przy jednym  rzucie trzema kostkami  wynosi 10 i 11. Obydwa te przypadki zdarzają się 27 razy.

Określam literą E zdarzenie polegające na wylosowaniu najbardziej prawdopodobnej sumy oczek. Wszystkich rzutów sprzyjających temu zdarzeniu jest 27+27=54. Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa, która mówi że prawdopodobieństwo P(E) zaistnienia zdarzenia E jest równe stosunkowi zdarzeń sprzyjających zdarzeniu E do wszelkich możliwych zdarzeń . Wszystkich możliwych zdarzeń jak pokazałem wcześniej jest 216.

Prawdopodobieństwo wyrzucenia najbardziej prawdopodobnej sumy oczek wynosi 25%.

MATEMATYKA
Zadanie

Mam do dyspozycji trzy kostki do gry, które rzucam jednocześnie tylko trzy razy N=3. To są moje 3 doświadczenia. Interesuje mnie prawdopodobieństwo zdarzenia E polegające na tym, że suma oczek równa 10 pojawi się k = 3,2,1,0 razy.

Rozwiązanie 

Prawdopodobieństwo wyrzucenia  przy  jednym rzucie trzema  kostkami sumy oczek równej 10 wynosi:

Rozwiązując to zadanie posłużymy się schematem Bernoulliego:
p oznacza tu prawdopodobieństwo sukcesu przy jednym rzucie.
q oznacza tu prawdopodobieństwo porażki przy jednym rzucie

Wzór Bernuilliego posłuży mi do wyznaczenia prawdopodobieństwa k krotnego występowania zdarzenia E w N niezależnych i powtarzających się doświadczeniach. Tych niezależnych i powtarzających się doświadczeń mam jak wynika z treści zadania N=3.

 

 Liczę prawdopodobieństwo takiego zdarzenia w moim doświadczeniu, które polega na tym, że suma oczek równa 10 pojawi się 0 razy. To prawdopodobieństwo wynosi 0,6699 ...

 Liczę prawdopodobieństwo takiego zdarzenia w moim doświadczeniu, które polega na tym, że suma oczek równa 10 pojawi się 1 raz.  To prawdopodobieństwo wynosi 0,2871 ...

  Liczę prawdopodobieństwo takiego zdarzenia w moim doświadczeniu, które polega na tym, że suma oczek równa 10 pojawi się 2 razy.  To prawdopodobieństwo wynosi 0.0410 ..

 Liczę prawdopodobieństwo takiego zdarzenia w moim doświadczeniu, które polega na tym, że suma oczek równa 10 pojawi się 3 razy.  To prawdopodobieństwo wynosi 0,0019 ...